Найти функцию распределения F(x). Математическое ожидание непрерывной случайной величины Непрерывная случайная величина задана функцией
В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.
Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(aX
Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице: Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и построить ее график. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Свойства плотности распределения вероятностей:
1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0. Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х Решение: Искомая вероятность: Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл: M(x)=xf(x)dx (9) Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то: M(x)=xf(x)dx (10) Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством: P{X e (X)}=P{X>M e (X)} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то: D(x)= 2 f(x)dx (11) Если возможные значения принадлежат всей оси х, то. Функция распределения непрерывной случайной величины
Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-?)=P{X < -?}. Событие (X < -?) является невозможным событием: F(-?)=P{X < - ?}=p{V}=0. 2. F(?)=lim(x>?)F(x)=1, так как по определению, F(?)=P{X < ?}. Событие Х < ? является достоверным событием. Следовательно, F(?)=P{X < ?}=p{U}=1. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Б В] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Б?X<В}=F(В)-F(Б). 4. F(x2)? F(x1), если x2, > x1, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией. 5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FШ(xo-0)=limFШ(x)=FШ(xo) при х> xo Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=xk}=pk, k=1,2,..n. Если x ? x1, то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x1< x ? x2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х1. Значит, F(x)=P{X=x1}=p1.При x2< x ? x3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x1}+P{X=x2}=p1+p2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что если хk< x? xk+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна единице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал Дx>0: P{x?X< x+Дx}=F(x+ Дx)-F(x). Перейдем к пределу при Дx>0: lim(Дx>0)P{x? X < x+Дx}=lim(Дx>0)F(x+Дx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim(Дx>0)F(x+Дx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Б< X? В},P{Б? X< В},P{Б< X< В},P{Б? X? В} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Б и(или) В совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Б?X<В}=F(В)-F(Б). Свойства функции распределения
Любая функция распределения обладает следующими свойствами: Она не убывает: если, то; Существуют пределы и; Она в любой точке непрерывна слева: Доказательство свойства (1). Для любых чисел событие влечёт событие, т.е. . Но вероятность - монотонная функция событий, поэтому Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры. Доказательство свойства (2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (2), (3) вытекает из монотонности и ограниченности функции. Остается лишь доказать равенства Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности, так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов. Докажем, что при. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий: Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех, для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при. Точно так же докажем остальные свойства. Покажем, что при, т.е. . Обозначим через событие. События вложены: а пересечение этих событий снова пусто - оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, Доказательство свойства (3). Достаточно доказать, что при. Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности: вероятность распределение регрессионный анализ Регрессионный анализ
Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает данные. Критерием качества приближения (целевой функцией) обычно является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной в качестве аргумента. Регрессионный анализ - раздел математической статистики и машинного обучения. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера распределения этой величины делаются предположения, называемые гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы выполняются статистические тесты, называемые анализом остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей в данных. Регрессия - зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной или нескольких других случайных величин (свободных переменных), то есть. Регрессионным анализом называется поиск такой функции f, которая описывает эту зависимость. Регрессия может быть представлена в виде суммы неслучайной и случайной составляющих. где f - функция регрессионной зависимости, а v - аддитивная случайная величина с нулевым матожиданием. Предположение о характере распределения этой величины называется гипотезой порождения данных. Обычно предполагается, что величина v имеет гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией. Задача нахождения регрессионной модели нескольких свободных переменных ставится следующим образом. Задана выборка - множество значений свободных переменных и множество соответствующих им значений зависимой переменной. Эти множества обозначаются как D, множество исходных данных. Задана регрессионная модель - параметрическое семейство функций f(w,x) зависящая от параметров и свободных переменных x. Требуется найти наиболее вероятные параметры: Функция вероятности p зависит от гипотезы порождения данных и задается Байесовским выводом или методом наибольшего правдоподобия. Линейная регрессия предполагает, что функция f зависит от параметров w линейно. При этом линейная зависимость от свободной переменной x необязательна, В случае, когда функция линейная регрессия имеет вид здесь - компоненты вектора x. Значения параметров в случае линейной регрессии находят с помощью метода наименьших квадратов. Использование этого метода обосновано предположением о гауссовском распределении случайной переменной. Разности между фактическими значениями зависимой переменной и восстановленными называются регрессионными остатками (residuals). В литературе используются также синонимы: невязки и ошибки. Одной из важных оценок критерия качества полученной зависимости является сумма квадратов остатков: Здесь SSE - Sum of Squared Errors. Дисперсия остатков вычисляется по формуле Здесь MSE - Mean Square Error, среднеквадратичная ошибка. Нелинейные регрессионные модели - модели вида, которые не могут быть представлены в виде скалярного произведения Где - параметры регрессионной модели, x - свободная переменная из пространства Rn, y - зависимая переменная, v - случайная величина и - функция из некоторого заданного множества. Задача
По двум независимым выборкам объемом n1=30 и n2=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =25 и =27. Дисперсии генеральных совокупностей известны =1,3 и =1,6. На уровне значимости =0,1 проверить гипотезу Н0: м1= м2 при конкурирующей гипотезе Н1: м1м2. Найдем отношение большой исправленной дисперсии к меньшей Fнабл=1.6/1.3=1.23. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид м1м2 поэтому критическая область - двусторонняя. В соответствии с правилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровень значимости вдвое меньше заданного. По таблице приложения 7, по уровню значимости a/2=0.1/2=0.05 и числом степеней свободы k1=15-1=14 и k2=30-1=29, находим критическую точку Fкр(0,05;14;29)=2,38. Так как Fнабл>Fкр - нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Список используемой литературы
1. Ахтямов А.М. «Теория вероятностей». - М.: Физматлит, 2009. 2. Булдык Г.М. «Теория вероятностей и математическая статистика», Мн., Высш. шк., 1989. 3. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей», УРСС. М.: 2001. 4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. «Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1993. 5. Севастьянов Б.А. «Курс теории вероятностей и математической статистики», - М.: Наука, 1982. Задание 2
. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией. Задание 3
. Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения. Задание 4
. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом:
f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Задача
. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x). Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
Пример №1
. Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется: Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x): Свойства
функции распределения
:
1) Функция распределения удовлетворяет
неравенству: 0≤F(x)≤1
; 2) Функция распределения является
неубывающей функцией, т.е. из х 2> х 1
следует
F(x2)≥F(x1).
3)Функция распределения стремится к
0 при неограниченном убывании еаргумента
и стремится к 1 при его неограниченном
возрастании.
График
функции распределения Плотностью
распределения вероятностей
(плотностью вероятности) f(x)
непрерывной случайной величины Х
называется производная функции
распределения F(x)
этой величины: f(x)=F’(x) Свойства
плотности распределения вероятностей:
1)
Плотность вероятности является
неотрицательной функцией: f(x)≥0;
2)
Вероятность того, что в результате
испытания непрерывная случайная величина
примет какие либо значения из интервала
(a,b)
равна:
Под
основными числовыми характеристиками
непрерывной случайной величины понимают,
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение. Математическое
ожидание непрерывной случайной величины:
Дисперсия непрерывной
случайной величины D
(X
)
=
M
[
X
–
M
(X
)]
2
.
(добавить)
Среднее
квадратическое отклонение: σ(х)= √D(X) Из
всех видов распределения непрерывных
случайных величин наиболее часто
используют нормальное
распределение
,
которое задается законом
Гаусса.
Так,
если мы имеем сумму большого числа
независимых величин, подчиненных каким
угодно законам распределения, то при
некоторых общих условиях она будет
приближенно подчиняться нормальному
закону. Непрерывная случайная величина
называется
распределенной по нормальному закону,
если ее
плотность вероятности имеет вид:
Подставив
выражение
примет
значение из заданного интервала:
P
(a
<
X
<
b
)
=____________________ Правило
трех сигм
:
отклонения
значений нормального распределения
случайной величины от ее математического
ожидания по абсолютной величине
практически не превышает ее утроенного
среднего квадратического отклонения.
Как известно, случайной величиной
называется переменная величина, которая может
принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают
заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными
буквами (x, y, z). различают непрерывные и дискретные случайные величины
. Непрерывной случайной величиной
называется случайная величина Х, если ее функция распределения
(интегральная функция распределения) представима в виде: Функция f
(x
) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины
X (дифференциальной функцией распределения). Вероятность
того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном
промежутке, вычисляется следующим образом: Примеры распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х: При решении задач широко используют числовые характеристики непрерывных случайных величин (таблица 1). Задача.
Известна плотность вероятности случайной величины: Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания X в
интервал (-π/4; π/4). Решение.
1. Зная свойства плотности вероятности -
функции f(х), найдем неизвестный параметр а. Из неравенства f(х)≥0, делаем вывод, что а≥0. Далее: Вычислим данный интеграл. Зная, что его значение должно быть равно единице, выразим а. А-(-а)=2а. Зная, что получаем 2а=1, отсюда а=1/2. если х ≤ 0 Если 0 < х ≤ π, то = ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx) Если х > π, то Искомая интегральная функция принимает окончательный вид: График функции F(x) представлен на рисунке 2. 3. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-π/4; π/4) найдем по
формуле: P(a
Справедливы следующие предельные соотношения: 
Рисунок-1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:
Рисунок-2
(8)
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a: 
или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3
Дисперсия
.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение
:
Найдем параметр A из условия:
или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14
Функцию распределения можно найти по формуле.
11.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины.
3)
Определенный интеграл в пределах от
–бесконечности до + бесконечности от
плотности вероятности непрерывной
случайной величины равен единице:
4)
Определенный
интеграл в пределах от минус бесконечности
до х от плотности вероятности непрерывной
случайной величины равен функции
распределения этой величины:
12. Нормальный закон распределения. Вероятность попадения нормально распределенной случайнойвеличиныв заданный интервал.Правило трех сигм.
(увеличить,дописать), где М-математическое
ожидание,
σ
в квадрате – дисперсия,
σ-среднее
квадратическое отклонение этой
величины.это кривая Гаусса:
для плотности вероятности нормально
распределенной случайной величины в
выражение
,
получим вероятность того, что в результате
испытания нормально распределенная
случайная величина
Таблица 1 -
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Числовая характеристика
Обозначение и формула
Математическое ожидание
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то математическое ожидание вычисляют
Дисперсия
непрерывной случайной величины Х
иначе
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то дисперсию вычисляют
иначе
Среднее квадратическое отклонение
непрерывной случайной величины Х
Пример решения задачи по теме «Непрерывные случайные величины»
Построить графики f(x), F(x).
P(-π/4 < x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).